新课程理念下统计与概率的教学研讨六

二、概率

（一）什么是概率

概率的内容，老师们普遍反映就是概率到底是什么？所以首先我们来讲一讲。

概率是研究随机现象的一门学科。随机现象跟我们其他的现象，或者跟确定性现象有什么不同呢？

第一，就是它的不确定性，也就是在相同的条件下做一件事，可能是这个结果，也可能是那个结果。举例说，掷一枚硬币，事先谁也无法预料，到底是正面朝上还是反面朝上。

     第二，就是要能够重复做实验，或者说近似地认为它可以重复做实验，不是说所有的不确定性都是用概率来解决的。那么重复做实验以后，人们发现每一次虽然无法确定，但是重复做实验中，它会呈现一种稳定性。所以有人把它叫做偶然中的规律性，我觉得是有一定的道理。如果一点规律都没有的话，可能就不会有这个学科的产生了。

    那么，我们就回顾在上一节讨论中，提到的学生中提到的几个问题，现在我们来看，有一些东西我们是容易解决的，比如说有的学生提到的：我们猜想的是10个硬币中应该出现5正5反，结果却出现了9正1反这样的极端情况，这是为什么？现在就很好理解了，因为它是不确定的，既可以出现9正1反，甚至也可能会出现0正10反，当然这种可能性就比较小，这正是不确定性的一种体会。所以老师在教学中就可以往这方面引导：同样的做10次，为什么我们的结果会不一样。当然在这个过程中，有一个小女孩很有意思，她是有一点误解，她说：为什么不确定，因为我们投的手法不一样，我要是正面抛出来的，就一定会是正面的朝上，反面抛出来一定会反面朝上。当然，这是孩子一种经验的暴露，我们也可以跟她进一步的做实验，进行交流。

那么，这么不确定，怎么理解正面朝上的概率是1/2呢。我们以通过技术来模拟的一个过程，来体会频率稳定在概率的意思。首先请老师们先把频率和概率这两个概念分清楚。频率，是正面朝上的次数/实验总次数，它是不确定的，因为你每次做的情况不一样，当然正面朝上的次数可能不一样，再除以总次数，可能是不一样的，频率是可以变化的。概率是一个确定的值，如果我们以后学了公理化的概率论，它是通过抽象定义出来的，所以它是一个确定的值。一定要注意这个不一样，有老师喜欢说概率也是不确定的，这是一种混淆，我想慢慢学习弄清楚就可以了。

    什么叫大量重复实验频率稳定在概率，我们可以看这个图，你会发现这个图的横坐标是实验的总次数，纵坐标是频率。并不是说我做了一万次以后，统计那时候的正面朝上的次数就正好是五千次，并不是这样。而是说有这么一个趋势，所以老师们现在在做概率实验中，有一个小的误区，就是现在也累加，但是就只看最后的结果。我也很费劲的做了三百次实验，算完了以后把最后三百次中的正面朝上和反面朝上拿出来，结果一个160多，一个130多，好像不是1/2，觉得差得还挺多。它不是一定就是1/2，而是说这个趋势，老师们看这个图，开始的时候波动可能是比较大的，到后来也有波动大的情况但是非常少了，它逐步逐步就稳定在这样的一种情况，即正面朝上的频率稳定在1/2。而且并不是实验次数越多就一定是越接近。有一次听一节课，一个小学生说的非常有道理，他也是遇到出现的频率和概率有所差别的情况，他说要多做实验，如果要多做实验频率数跟我们原来猜想的概率相差得比较大的情况就会非常少。就是这句话，当大量重复实验时频率和概率相差比较大的可能性，它的极限是等于零的。这个孩子说的这句话，就是大数定律。以后老师们感兴趣的可以再学习学习。所以，对老师们最直接的一个建议就是：你如果要体现这个过程的话，要把它的趋势体现出来，就不能只是合计最后的次数，而是逐步累计，20、40……，看频率的趋势。这个过程很复杂了，课堂上没有那么多的时间画，那可能我们就需要用信息技术来帮助我们去解决这个问题了。再举一个例子：

    案例：一个非常优秀的老师上的一节课，她是用这个形式来体现频率稳定在概率的。首先做了10次实验，4个小组，算出频率为0.5，0.3，0.6，0.8，差距挺大的，画出来以后好像波动挺大的，不是0.5（下面的左图）。然后，又有一个小组合作以后，又做了100次实验，也是做了四个组，最后发现确实也有绝对数上的偏差，但是频率一个是0.55，一个0.51，一个0.48，一个0.52,这个

这个老师进一步又引了数学家做的实验的一个数据，那这个时候，如果我们再把它画出来的话，就几乎没有什么差别了，稳定性就更明显了。

通过这样一个例子的剖析，来帮助我们理解概率。有的老师就会说了，那你说换一个角度来说，那么10次中正好出现5次的概率到底大还是不大。我不知道老师们猜想得怎么样，反正我调查过老师们的结果，正好5次正面朝上的概率是0.5猜的老师非常非常多，他把这个1/2和那个1/2混在一起了。但是有的老师感觉很好，他说不是那么容易的，可能没有0.5那么大。其实，我们如果真正去计算的话，那么10次中正好出现5次的概率是25%左右。

令X为掷10次硬币正面出现的次数，那么“掷100次恰出现50次正面”的概率为 。

结果并不是我们想象中的那么大，那么，怎么来理解1/2，还有什么意义呢？就是它跟别的相比它是最大的。你要把这个图画出来，就是中间那个5次（正面朝上的次数是5）是最大的，6次也不少，到0次就很好想象就非常小了。所以，它不是正好5次，但是你可以这么说，10次中在5次附近的概率确实是挺大的，就是仍然超过50%了。这样一来，就能理解这个1/2还是有意义的。换句话说，有时候偏6了，有的时候偏4了，但是平均下来是5。

因此，我们又进一步的看到了随即现象中确实既有不确定的东西，又有一些规律性的东西。那么如何来得到这个概率呢？主要是两个方面：

第一，就是建立一些模型，有了这个模型以后，就可以根据模型进行计算了。小学阶段经常讨论的就是古典概型的，就是我们所说的掷色子、摸球、掷硬币等等。那么，古典概型它的基本特点，第一就是实验的所有可能结果是有限次的。你比如说掷硬币，只有正面朝上、反面朝上这两个结果。掷色子一点、两点、三点、四点、五点、六点，它是有限次的。第二个特点是每一个可能发生的结果，它都是等可能的，也就是所有可能结果发生的概率相等。在这样的情况下，就可以计算了。比如说掷色子中出现偶数点的概率，那分母就是掷一次色子可能的结果数，那么是6个，由于这6个又是等可能的，那么分子就是出现偶数次的可能的结果是3个， 所以它的概率是六分之三，也就是二分之一，这就是古典概型。现在教材，要求用分数来表示可能性大小，我觉得老师们不一定让学生说这样的语言，但是可以进行一些指导，比如说怎么理解六分之三，不是说色子有六个面就是6，有三个面2、4、6就是3，可以鼓励学生去猜想一下到底是有几种可能，再理解6。另外，就是要强调所有可能发生的概率相等。当然，这种模型，除了古典概型还有很多。   

第二，就是通过实验去估计概率。有的时候概率是不能够靠算直接算出来的，比如说掷图钉，图钉落地后有两种情况（地面足够硬）：一种就是钉尖朝上，一个就是钉尖斜落。那么，想要知道钉尖朝上的概率，显然这个时候没有什么公式能帮助你去算。这时候怎么办，不是就束手无策了，而是利用频率稳定在概率来估计概率。我们做一些实验发现频率稳定在60%左右，就以此估计概率。当然，结果跟掷的高度也有关。有的学者不把这个过程认为是概率，认为它是统计。实际上和统计结合得太紧密了，我觉得叫什么名字都可以商量，但是可以用这种手段去估计概率，这个方法是非常有价值的。因为确实生活中大量的东西是必须靠统计，通过统计频率来估计的。比如我们的保险业，你到底定多少赔偿金额，肯定跟意外的死亡率有关。而这个东西，根本没有办法去计算的，只有靠统计，这一个地区每年意外死亡的人是不确定的，但是大致统计一段时间它是有一定规律的。

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