从"互质数"有7种情况谈起

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教师上六年级数的整除之整理与复习课,谈到互质数,一学生举手说:"老师,互质数有七种情况",老师请他说,他一一道来:"1和任何数互质,相邻两个数互质,一个数与它的两倍加1互质,一个数与它的两倍减1互质,两个质数互质,大数是质数,小数是合数的两个数互质……"。看得出，教师听得有点糊涂了——很难迅速准确的判断其中的一些是否正确，于是没有很好的处理。
　　两个思考：
　　一、学生为什么对互质数掌握了这么多“情况”。由于没有机会访问这位学生，不知道他是如何了解这些互质数的“情况”的。下面听课的很多老师认为，一定是他学过“奥数”。果然如此，奥数学习是不是有点过份？我们给学生总结互质数的这么多情况对学生到底有哪些帮助？事实上，限于学生所掌握的数论知识，对期中的很多情况，他们是不可能知其所以然的。
　　二、教师为什么不能很好的处理？在我看来，以下就是对这个环节的一个好的处理方式：
　　师：这位同学讲了这么多种互质的情况，我们来看其中的三种：一与任何数素质，相邻的两个数互质，一个数与他的两倍加1素质。若以3为例，就是3与1互质，3与4互质，3与7互质，是这样吗？
　　师：你看到3与1、4、7都互质，有什么想法？
　　生：1、4、7后面是10，3与10互质。
　　生：3与13与互质。
　　师：借用这位同学说的一个数与它的两倍加1互质的说法，即7是3的两倍加1，那其他数呢？
　　生：0倍加1，1倍加1，3倍加1，……
　　师：能不能把“一个数与它的两倍加1互质”推广一下？
　　生：一个数与它的任何倍加1素质。
　　师：若用字母k表示这里的任何倍，那就是a与ka+1互质。当然k是自然数。对吗？
　　师：这样我们就把这位同学说的三种情况变成了一种情况，并且这一种情况还包括了那三种情况以外的情况，我们也是在做整理。
　　教师若具有初等数论的常识。作出以上处理并不难。事后，老师与我交流，自我反思说：要多教高年级。我的相法是：不仅仅要多教高年级，还要读点书，提高自身的数学素养。，从"互质数"有7种情况谈起