尊重·引导·拓展——浅谈如何在解题教学中引导学生“巧思妙解”

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“数学是思维的体操”，引导学生学会“数学地思维”是数学教学的核心目标。根据有关专家研究，数学思维具有以下特征：数字化、最优化、符号化、抽象化、逻辑化。其中“最优化”是指：在现实问题数学化的基础上，考察所有的可能性，力求最优解，即思维本身的最优化。
　　《数学课程标准》指出：“由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的与富有个性的过程。”数学教学中，引导学生从不同角度观察、思考问题，积极鼓励解决问题策略的多样化，敢于并善于巧思妙解，是提高学生发现问题、分析问题和解决问题能力的重要途径，也是新课程改革所倡导的重要理念之一。课程标准鼓励“算法多样化”和“解决问题策略的多样化”，笔者认为应本着“多中选优、择优而用”的原则，注重引导学生巧思妙解，注意数学思维方法的渗透，使学生经历下列过程：面对问题从无办法到有办法，从有办法到办法多，从办法多到能迅速捕捉到机智巧妙的办法。本文结合实例，就如何注重引导学生巧思妙解与加强思维训练，谈谈自己的认识和做法。
　　一、充分尊重学生的巧思妙解——正确对待
　　课堂上、作业中或考试时学生出现的一些特殊算法，教师不能随意否定。虽然有时一下子难以作出正确的评价或进行算理的推导，但应该让学生充分阐述自己的思维过程，并和学生一起研究这个新问题，然后给予正确的评价与指导。
　　如在应用题教学中，我遇到以下一题：
　　李师傅原来加工5300只零件，不合格的有186只，技术改革后，不合格率是2％。问加工同样的这批零件，合格的零件增加多少只?
　　大多数学生从“合格零件的增加个数=现在合格数-原来合格数”，列式为：5300×(1-2％)-(5300-186)=80(只)。然而却有学生这样列式：186-5300×2％=80(只)，因为他们认为“合格零件增加的只数=不合格零件减少的只数”。所以从这个隐蔽条件入手分析，获取了题目的巧解，值得肯定和表扬。
　　再比如，在圆面积综合练习课上，教师安排了以下一题：
　　如下图，有一个正方形的面积是20平方厘米，在它里面画一个最大的圆，问圆的面积是多少？
　　教师设计此题的意图是：打破学生求圆面积的解题思维定势，启发学生先求出r2，然后再求出圆的面积。
　　学生又是怎样思考的呢?他们在讨论中发现，已知正方形面积是20平方厘米，却无法知道它的边长是多少，也无法求出是多少，因此常规思路以失败告终。在教师的引导之下，学生通过画一画发现，利用正方形面积是20平方厘米，可以求出圆的r2=20÷4=5(平方厘米)(如下图)，所以S圆=πr2=3.14×5=15.7(平方厘米)。
　　正当教师想表扬和小结之时，有一位学生急忙发言：“老师，我觉得应该对圆面积公式作一点补充。”听了这句话，大家都很惊奇，教师用鼓励的目光让他说出自己的想法。他说：“我发现了一个计算圆面积的新公式。由于r=d/2，所以S圆=πr2=π×(d/2)2=1/4πd2。有了这个新公式，因为已知正方形的面积是20平方厘米，即d2=20平方厘米，所以圆面积S=1/4πd2=1/4×3.14×20=15.7(平方厘米)。”“是啊，这是一个多么有创造性的发现啊！”学生们都向他投去赞许的目光。
　　从上例可见，在课堂教学中，教师要留给学生求异、创新的余地，多给学生思考、想像和创造的空间，尽量引导学生运用多种不同的表达方式，尊重与激励学生的独立思维方式，让学生的智慧得以“闪光”。这样，即使课本上没有的公式，学生也可能发现并创造出来。
　　二、合理引导学生的巧思妙解——敢于求异
　　课堂教学中，在教给学生基本的解题思路和方法之后，不能让学生被这些基本解法所束缚，而是要鼓励学生深入思考，敢于从多角度、多方面、多层次地探索与发现，使学生敢于求异。由于多角度地思考问题，灵活转换思考角度，解法就显得别开生面，且深刻而富有

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　　例如：某筑路队计划6天铺900米水泥路，结果提前一天完成了任务。工作效率提高了百分之几?
　　分析与解：按常规思路，不难得出：[900÷(6-1)-900÷6]÷(900÷6)=0.2=20％。而换个角度思考，把原计划6天铺好改为提高工效后5天铺好，也就是说，现在铺一天相当于原计划铺6÷5=1.2(天)。因此，现在的工效是原来的120％，所以工效提高了20％，列综合算式为：6÷(6-1)-1=20％。
　　又如：一列火车从甲站开往乙站，61/4小时行驶500千米，行了全程的5/8。照这样的速度，再行多少小时到达乙站?
　　分析与解：有些学生一看到“500千米”和“全程的5/8”马上想到：可以求出全程，再用剩下的路程除以速度，即(500÷5/8-500)÷(500÷61/4)=33/4(小时)。如果我们换个角度思考，抛开“500千米”这个条件，本题中只剩下“61/4小时行了全程的5/8”这个条件，这样本题就会有更多的解题思路。
　　解法1：先求出火车行完全程的时间是61/4÷5/8=10(小时)，所以火车再行10-61/4=33/4(小时)可到达乙站，列综合算式为：61/4÷5/8-61/4=33/4(小时)。
　　解法2：先求出火车行完全程的时间，剩下所求的时间应是全程的1-5/8=3/8，列式为：61/4÷5/8×(1-5/8)=33/4(小时)。
　　解法3：由“已行了全程的5/8”可知已行路程与未行路程的比为5∶3，因为前后速度一定，行这两段路所用的时间比也是5∶3，所以要再行61/4×3/5=33/4(小时)。
　　从上例可见,去掉“500千米”这个条件，反而使解题思路更灵活、更巧妙。所以，在分析问题时，我们要突破思维定势，合理转换思考角度，创造性地解决问题。
　　三、努力拓展学生的巧思妙解——善于创新
　　教学中，教师要鼓励学生结合具体问题，进行大胆的尝试、猜想、联想，引导学生能从多角度思考问题，做到“多思”出“多解”，“多解”出“巧解”，使学生的智慧在丰富多彩的数学活动中得以“闪光”，从而培养学生思维的灵活性和创造性。
　　如在数学兴趣活动课中，教师出示以下一题：
　　有一块长方形铁皮(如图1)，长40厘米，宽20厘米。怎样将它做成一个高5厘米的无盖长方体盒子，并使它的容积变得最大呢?
　　在小组讨论的基础上，教师组织学生交流。
　　一般的学生这样思考：在铁皮的四个角上剪去4个边长是5厘米的小正方形(如图2)，然后做成长方体。这样的体积是：(40-5×2)×(20-5×2)×5=1500(立方厘米)。
　　思维灵活的学生这样思考：剪去4个小正方形，这样做太浪费了。如果像图3那样，将左边的两个小正方形铁皮割下来，然后补在右边，再做成一个长方体，则它的体积是：(40-5)×(20-5×2)×5=1750(立方厘米)。
　　在此基础上，教师进一步启发学生：怎样设计可以使体积更大呢?事实上，如果换个角度思考，如图4，将长方体的底面做成一个正方形，不仅材料无浪费，而且体积可以变得最大，列式为：20×(40-5×4)×5=2000(立方厘米)。
　　可见，在解决问题时，教师要注意开放学生的思维方式与思考角度，合理拓展学生的思路，发展学生的创新思维，从而有效地培养学生的数学思维能力

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