抽屉原理 详解

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一、 知识要点       抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。 把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。       原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。       原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合，则一定有一个集合呈至少要有k个元素。      其中 k＝ （当n能整除m时）   〔  〕＋1 （当n不能整除m时）   （〔 〕表示不大于 的最大整数，即 的整数部分）       原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。      二、 应用抽屉原理解题的步骤        第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。       第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。       第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。      例1、 教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业 求证：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。      证明：将5名学生看作5个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉 由抽屉原理1，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果。 即至少有两名学生在做同一科的作业。      例2、 木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？     解：把3种颜色看作3个抽屉 若要符合题意，则小球的数目必须大于3 大于3的最小数字是4 故至少取出4个小球才能符合要求 答：最少要取出4个球。       例3、 班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。      解：把50名学生看作50个抽屉，把书看成苹果 根据原理1，书的数目要比学生的人数多 即书至少需要50+1=51本 答：最少需要51本。      例4、 在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。      解：把这条小路分成每段1米长，共100段 每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果 于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果 即至少有一段有两棵或两棵以上的树       例5、 11名学生到老师家借书，老师是书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本 试证明：必有两个学生所借的书的类型相同       证明：若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四种 若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种 共有10种类型 把这10种类型看作10个“抽屉” 把11个学生看作11个“苹果” 如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉 由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同      例6、 有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜 试证明：一定有两个运动员积分相同      证明：设每胜一局得一分 由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能 以这49种可能得分的情况为49个抽屉 现有50名运动员得分 则一定有两名运动员得分相同        例7、 体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？       解题关键：利用抽屉原理2。 解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种： ｛足｝｛排｝｛蓝｝｛足足｝｛排排｝｛蓝蓝｝｛足排｝｛足蓝｝｛排蓝｝ 以这9种配组方式制造9个抽屉 将这50个同学看作苹果 ＝5.5……5 由抽屉原理2k＝〔 〕＋1可得，至少有6人，他们所拿的球类是完全一致的       抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。        原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一

www.dbk123.com 定有一类中有2个或2个以上的元素。        原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合，则一定有一个集合呈至少要有k个元素。        原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。   练习：

1.在20xx年出生的1000个孩子中，至少有多少个孩子的生日相同，为什么？

2.有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，如果让你闭上双眼去摸，你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为什么？至少拿几根，才能保证有两双同色的，表示4根筷子一样的颜色，你们怎么做的？为什么？ 6根呢？

3.有红、蓝、黄三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里，为保证一次能取到2颗颜色相同的珠子，一次至少要取多少颗珠子？如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各两颗，那么一定至少取出多少颗？

4.从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52块中至少抽出多少张牌，才能保证其中必有3种花色？

5.一个袋子中放有100个小球，其中28个红球，20个绿球，12个黄球，20个蓝球，10个白球，问应从袋中摸出最少只小球，才能确保有15个同色的球？

答案：

    1、在20xx年出生的1000个孩子中，至少有636个孩子的生日相同，因为20xx年是平年，共365天，没有相同生日的最多364个，所以有相同生日的最少1000-364=636个。 
    2、至少要摸出4根才敢保证至少有两根筷子是同色的。因为有3种颜色，若前三根的颜色都不同，第四根必定与前三根中的一根同色。至少拿6根，才能保证有两双同色的筷子，因为只有3种颜色，不同色的最多有2根，所以6根里必定有2双同色。 
    3、有红、蓝、黄三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里，为保证一次能取到2颗颜色相同的珠子，一次至少要取4颗珠子。因为只有3种颜色，若前3颗不同色，第四颗必定与前面3颗中的1颗同色。如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各两颗，那么一定至少取出7颗。因为若取出其中1种颜色的全部4颗，另取3颗中必定有2颗同色，所以 取出7颗能保证一次取到两种不同颜色的珠子各两颗。 

    4.从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52块中至少抽出27张牌，才能保证其中必有3种花色。因为每种花色各13张，若取出其中2种花色的全部共26张，第27张必定是第3种花生色。 

    5.一个袋子中放有100个小球，其中28个红球，20个绿球，12个黄球，20个蓝球，10个白球，应从袋中摸出最少65个小球，才能确保有15个同色的球。因为若取出了红球、绿球、蓝球各14个和全部黄球、白球，共64个，则第65个必定是红、绿、蓝球中的1种，则该颜色有15个。 

小学六年级数学抽屉原理

    我常用这样一个说法：
    最倒霉原理：
    第一题中，老师很不走运，每连分了38本书都没保证到有人两本，因为他发的书第人一本，没关系，再拿一本来吧，这样保证有一人两本了，至于别的，如果发的幸运的话，发39本书，有人没有，则会更多人二本，或有的人二本以上了
答：38+1=39本
   第二题，49除以四得12余一，一定有一人至少投中了十二加上这个余数一，即十三个球。
可用反证法，假设任何人都比十三少，总数肯定少于49，所以，这样的假设错误
    第三题，60除以15等于四种颜色
这可以构造四个抽屉，最倒霉的时候，每种颜色取了2块共取了八块后还没保证有三块颜色相同，不过不要紧，再取一块吧，不管它什么颜色，总算有了保证了
（3-1）*4+1=9块 

练习：
    1、公交车集团有五十辆客车，各种车的座位不同，其中最少得有18个座位，最多的有60个座位，在这些客车中，至少有几辆客车的座位数相同？（要过程） 

    2、有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根，才能保证达到要求？
要具体步骤，谢啦！ 
答案：

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